五軸機(jī)床誤差建模與補(bǔ)償解析新算法

全球化的競(jìng)爭(zhēng)迫使生產(chǎn)企業(yè)越來越重視產(chǎn)品的加工效率和精度，產(chǎn)品精度很大程度上由機(jī)床的精度所決定。五軸數(shù)控機(jī)床能實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜異型曲面零件進(jìn)行高速、高效、高精度加工，廣泛地運(yùn)用在汽車、軍工、能源等行業(yè)，近年來越來越倍受機(jī)械加工行業(yè)的重視。五軸數(shù)控機(jī)床受幾何誤差、熱變形誤差、動(dòng)態(tài)誤差等各種因素的影響，其加工精度往往很難滿足實(shí)際生產(chǎn)需求。通過更換高精度傳動(dòng)部件和伺服控制系統(tǒng)來提高機(jī)床精度易受技術(shù)和生產(chǎn)成本等瓶頸的限制，因此對(duì)機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償已成為提高加工精度的一種有效方法。機(jī)床的誤差主要有空間運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差、熱變形誤差、動(dòng)力學(xué)誤差以及運(yùn)動(dòng)控制與控制算法誤差等，尤其是機(jī)床在加工過程中還存在熱變形誤差和承載變形誤差，并且這類誤差存在非穩(wěn)定性和時(shí)序性，且分布較為復(fù)雜，因此，實(shí)現(xiàn)高精度誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵技術(shù)是需要精確地建立數(shù)控機(jī)床綜合誤差的計(jì)算模型。目前，數(shù)控機(jī)床誤差的理論建模技術(shù)主要有幾何建模法、齊次誤差矩陣法等幾種。SheChenhua提出了一種通用型五軸機(jī)床誤差補(bǔ)償后處理模型，并有效地提高了補(bǔ)償精度。文獻(xiàn)和文獻(xiàn)中采用多體理論對(duì)五軸機(jī)床的幾何誤差和熱誤差進(jìn)行了簡(jiǎn)化與建模分析。Bohez 等提出了一種分離低階誤差分量的識(shí)別方法。盡管上述研究都取得了一定成果，但這些方法都存在著魯棒性差、數(shù)學(xué)表達(dá)式冗余復(fù)雜、誤差分量不確定、補(bǔ)償精度差等問題，并沒有從根本上解決機(jī)床誤差建模和機(jī)床誤差補(bǔ)償?shù)膯栴}。作者以五軸機(jī)床CGM4000 為研究對(duì)象，基于多體動(dòng)力學(xué)建立了誤差綜合補(bǔ)償模型，尤其針對(duì)機(jī)床熱誤差，提出了5 點(diǎn)測(cè)量法和6 點(diǎn)測(cè)量法分別對(duì)主軸、進(jìn)給軸進(jìn)行熱誤差辨識(shí)。針對(duì)機(jī)床誤差的不穩(wěn)定性，不完整性等“貧信息”特性，提出了變權(quán)系數(shù)灰色模型( variable weight GM( 1，n) ，簡(jiǎn)稱VW － GM( 1，n) ) 擬合熱誤差值，建立機(jī)床熱誤差預(yù)測(cè)模型。基于上述算法開發(fā)了易于數(shù)控系統(tǒng)自動(dòng)解算的誤差補(bǔ)償單元，并通過試切加工驗(yàn)證了該補(bǔ)償算法的有效性。

1 基于多體系統(tǒng)機(jī)床誤差建模

1.1 五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

多體系統(tǒng)是指由多個(gè)剛體或柔體通過一定的約束形式連結(jié)而成的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)。五軸數(shù)控機(jī)床分別由床身、工作臺(tái)、橫梁、立柱、進(jìn)給單元、主軸單元等部件構(gòu)成，各個(gè)運(yùn)動(dòng)部件都可簡(jiǎn)化為剛體或柔體子系統(tǒng)，運(yùn)用低序體陣列對(duì)各子系統(tǒng)間的連接拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)字化描述。以CGM4000 型五軸機(jī)床作為研究對(duì)象，該機(jī)床為1 臺(tái)標(biāo)準(zhǔn)類型的TTTRR(3 個(gè)平移軸T、2 個(gè)旋轉(zhuǎn)軸Ｒ) 型五軸機(jī)床，結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

該加工中心有X、Y、Z3 個(gè)線性軸和A、B 兩個(gè)回轉(zhuǎn)軸( 雙擺頭) ，其中x 方向有X1 軸和X2 軸。Z 軸上安裝了2 個(gè)回轉(zhuǎn)軸A、B，主軸固定安裝在B 軸上，主軸頭夾持刀具，刀具可以繞2 個(gè)相互正交的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，以使刀具有較大的空間操作性。

機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是建立刀具坐標(biāo)系相對(duì)于工件坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，通常以各坐標(biāo)軸在回零狀態(tài)或?qū)Φ稜顟B(tài)下的初始位置為起點(diǎn)，分析各運(yùn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過程中所引起的綜合性誤差。機(jī)床各運(yùn)動(dòng)剛體之間是剛性連接，每個(gè)運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)關(guān)系都可以用一個(gè)4 × 4 的轉(zhuǎn)置矩陣表示。在理想情況下，笛卡爾機(jī)床坐標(biāo)系中X、Y、Z 軸之間兩兩相互垂直，回轉(zhuǎn)軸A、B( 雙擺頭) 分別繞x、y 方向旋轉(zhuǎn)，并與Z 軸固連，主軸S 固聯(lián)在B 軸上。通過多體動(dòng)力學(xué)理論對(duì)機(jī)床進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)拓?fù)浞治?，可以得到如圖2 所示的低序體陣列拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，其中機(jī)床主要部件分成9 個(gè)典型體單元。在機(jī)床床身上建立固定參考坐標(biāo)系，確立機(jī)床運(yùn)動(dòng)副之間的相對(duì)位姿關(guān)系，建立起機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程。為了求解該型機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，建立兩組運(yùn)動(dòng)學(xué)約束鏈，一組是刀具運(yùn)動(dòng)學(xué)約束鏈，另一組是工件運(yùn)動(dòng)學(xué)約束鏈。在床身( 低序體0) 上建立參考坐標(biāo)系0; 工件( 低序體1) 上建立坐標(biāo)系1; X 軸( 低序體2) 上建立坐標(biāo)系2; Y 軸( 低序體3) 上建立坐標(biāo)系3; Z 軸( 低序體4) 上建立坐標(biāo)系4; A 軸( 低序體5) 上建立坐標(biāo)系5; B 軸( 低序體6) 上建立坐標(biāo)系6; 主軸S( 低序體7) 上建立坐標(biāo)系7; 刀具t( 低序體8) 建立坐標(biāo)系8; 通過低序體0、1、2、3、4、5、6、7、8 建立了機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)拓?fù)浼s束鏈。

1. 2 誤差分量解析

文中該型數(shù)控機(jī)床的X1 軸和X2 軸由于誤差特性相同，故統(tǒng)稱為X 軸的誤差，根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)和熱誤差特性分析，該型五軸機(jī)床共有59 個(gè)誤差分量，其中37 個(gè)幾何誤差分量，22 個(gè)熱誤差分量，具體描述如下:
1) 在空間坐標(biāo)系中，3個(gè)運(yùn)動(dòng)平移軸有6 個(gè)誤差分量，雙擺頭A、B 軸各有6 個(gè)誤差分量，共30 個(gè)誤差分量。各軸的誤差分量分別為: 在x、y、z 方向的3 個(gè)線性平移誤差δij( i = x，y，z; j = X，Y，Z，A，B)和繞X、Y、Z 坐標(biāo)軸的3 個(gè)角位移誤差分量εij( i =x，y，z; j = X，Y，Z，A，B) ，其中，i 為誤差的方向，j 為運(yùn)動(dòng)軸名稱。δxX、δy X、δz X為X 軸的坐標(biāo)系原點(diǎn)分別在x、y、z 方向的平移誤差，εxX、εyX、εzX為X 軸的坐標(biāo)系原點(diǎn)分別在x、y、z 方向的回轉(zhuǎn)誤差。
2) 在空間坐標(biāo)系中，X、Y、Z 軸間的相互垂直度誤差Sxy、Sxz、Syz共3 個(gè)誤差分量。
3) 在空間坐標(biāo)系中，A、B 回轉(zhuǎn)軸誤差為: A 軸與xy平面及yz平面的平行度誤差SAxy、SAyz; B 軸與xz平面及yz平面的平行度誤差SBxz、SByz共4 個(gè)誤差分量。
4) 每一個(gè)運(yùn)動(dòng)軸( X、Y、Z、A、B) 在x、y、z 方向各有3 個(gè)熱變形誤差，共有15 個(gè)熱誤差Δδij( t) ( i= x，y，z; j = X，Y，Z、A，B) ，其中: i 為誤差的方向，j為運(yùn)動(dòng)軸名稱，如: ΔδxX( t) 、ΔδyX( t) 、ΔδzX( t) 為X軸的坐標(biāo)系原點(diǎn)分別在x、y、z 方向的熱變形誤差，主軸S 在x、y 方向有2 個(gè)角位移誤差εxS、εyS; 主軸S在x、y、z 方向有3 個(gè)熱變形誤差ΔSj( t) ( j = x，y，z) ，其中，j 為產(chǎn)生誤差方向，另外主軸還存在x、y方向上熱傾斜誤差，分別為: ΔεxS( t) 、ΔεyS( t) ，共22 個(gè)誤差分量。

1. 3 建模過程

1)X 軸( 低序體2) 固連在床身上( 低序體0) ，綜合誤差變換矩陣T02 為:

2)Y 軸( 低序體3) 固連在X 軸( 低序體2) 上，綜合誤差變換矩陣T23 為:

3)Z 軸( 低序體4) 相對(duì)Y 軸( 低序體3) 的綜合誤差變換矩陣T34 為:

4)A 軸( 低序體5) 固連在Z 軸( 低序體4) 上，綜合誤差變換矩陣為T45 為:

式中: A12=－εzAcos α+εzA·sinα; A13 = εzA·sinα+εyA·cosα; A22= cosα－εxA·sin α; A23－sinα－εxA·cosα; A32= εxA·cos α + sinα; A33 =－ εxA·sinα +cosα ; 其中，擺頭A 相對(duì)與Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)α。

5)B 軸( 低序體6) 固連在A 軸上( 低序體5) ，綜合誤差變換矩陣T56 為:

6)主軸S( 低序體7) 相對(duì)于B 軸( 低序體6) 的綜合誤差變換矩陣T76 為:

7)刀具( 低序體8) 安裝在主軸S( 低序體7)上，其相對(duì)于主軸S 的誤差變化矩陣T87 為:

式中，L 為刀具長(zhǎng)度。

8)工件( 低序體1) 固定在工作臺(tái)上，與床身( 低序體0) 視為一體，空間6 自由度被完全約束，其相對(duì)于床身的誤差變化矩陣T01 為:

式中，a、b 為工件坐標(biāo)系相對(duì)基坐標(biāo)系的位置。

在理想狀況下，刀具坐標(biāo)系T 與工件坐標(biāo)系W是重合的，但實(shí)際加工中由于機(jī)床的各種誤差因素而導(dǎo)致兩者之間并不重合。為了重新使其重合，必須對(duì)機(jī)床綜合誤差進(jìn)行補(bǔ)償，令WET表示刀具中心點(diǎn)實(shí)際位置和理論加工點(diǎn)的矢量偏差( 即誤差矩陣) ，則Tr，t = WETW忽略所有2 階及2 階以上的高階誤差項(xiàng)，故綜合誤差模型化簡(jiǎn)為:

式中，ΔX、ΔY、ΔZ 為刀尖切削點(diǎn)相對(duì)于工件被切削點(diǎn)的位置誤差，θx、θy、θz為刀尖切削點(diǎn)相對(duì)于工件被切削點(diǎn)的姿態(tài)誤差。求解ΔX、ΔY、ΔZ、θx、θy、θz可得到機(jī)床位姿補(bǔ)償量表達(dá)式。

2 綜合誤差模型與參數(shù)辨識(shí)的預(yù)測(cè)模型為:

通過第1.3 節(jié)分析，基于小誤差假設(shè)，機(jī)床綜合誤差E0可以看成機(jī)床幾何誤差E1和熱誤差E2的線性疊加，即E0= E1+E2。幾何誤差分量可以采用15 線、22 線等方法辨識(shí)出，已被廣泛引用，故本節(jié)不再說明。本節(jié)主要針對(duì)熱誤差展開研究，提出了測(cè)量主軸熱誤差的5 點(diǎn)測(cè)量法和測(cè)進(jìn)給軸熱誤差的6 點(diǎn)測(cè)量法。測(cè)量系統(tǒng)包括: M10 激光干涉儀、EC10環(huán)境補(bǔ)償單元、分光鏡、反射鏡、PC 機(jī)、電感測(cè)微儀和溫度熱電偶。根據(jù)文獻(xiàn)，在機(jī)床主軸和X1 軸的熱敏感點(diǎn)處出安裝熱電偶溫度傳感器和電感測(cè)微儀進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。如圖3 所示，測(cè)量主軸在x、y、z 方向的熱偏移誤差和繞x、y 方向的熱傾斜誤差，其中1、3 為x 向測(cè)量點(diǎn)，2、4 為y 向?yàn)闇y(cè)量點(diǎn)，5為z 向?yàn)闇y(cè)量點(diǎn)。通過數(shù)據(jù)采集卡獲取相應(yīng)的熱變形量σi( t) (i = 1，…，5) ，則: ΔSx( t) = (σ3－σ1) ; ΔSy( t) = (σ4－σ2) ;ΔSz( t) = －σ5; Δεxs( t) = ( σ3－σ1) l /l1; Δεys( t) =( σ4－σ2) l /l2; 其中，l1為1、3 測(cè)量點(diǎn)間的距離，l 2為2、4 測(cè)量點(diǎn)間的距離，l 為主軸長(zhǎng)度。

如圖4 所示，主要測(cè)量進(jìn)給軸在x、y、z 方向的熱變形誤差和繞x、y、z 方向的熱傾斜誤差，其中8、9為x 向測(cè)量點(diǎn)，6、11 為y 向?yàn)闇y(cè)量點(diǎn)，7、10 為z 向?yàn)闇y(cè)量點(diǎn)。通過數(shù)據(jù)采集卡獲取相應(yīng)的熱變形量σi( i= 8，…， 11) ，由于進(jìn)給軸的測(cè)量方法一致，選取X1軸進(jìn)行辨識(shí)，則: ΔδxX( t) = (σ8－σ9) ; ΔδyX( t) =( σ6－σ11) ; ΔδzX( t) = ( σ7－ σ10)。機(jī)床開機(jī)空載運(yùn)轉(zhuǎn)一段時(shí)間( 約0.5 ～ 1 h) 后，溫升幅度不超過每小時(shí)5 ℃，可認(rèn)為達(dá)到熱平衡狀態(tài)。以主軸的x 向熱誤差分量為例，采集不同時(shí)間點(diǎn)的溫度值Ti和對(duì)應(yīng)熱變形量ΔSj( t) 、ΔεxS( t) 值，得到主軸x 向熱誤差曲線。以熱誤差序列X( 0) 為樣本，將其代入式( 10)中求取主軸x 向熱誤差預(yù)測(cè)曲線。

如圖5 所示，可知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值吻合度較高，預(yù)測(cè)模型誤差范圍在0 ～ 2 μm 之間。同理可擬合出X1 軸的x 向熱誤差實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值曲線如圖6所示，預(yù)測(cè)模型誤差范圍在0 ～ 12 μm 之間，表明熱誤差辨識(shí)預(yù)測(cè)模型精度很高。

3 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)與分析

基于上述模型算法，為了驗(yàn)證該算法的有效性，以CGM4000為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，該機(jī)床X、Y、Z軸行程為:4 000、2 500、600 mm，配置FIDIA 的雙擺頭，A 軸轉(zhuǎn)動(dòng)范圍+90°～－110°、B 軸轉(zhuǎn)動(dòng)范圍±360°。該型數(shù)控機(jī)床承重件采用了熱對(duì)稱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，進(jìn)給軸采用一端固定，另一端浮動(dòng)的結(jié)構(gòu)，有效地減小了由溫升而引起的絲杠翹曲變形誤差，并消除了絲杠反向間隙。進(jìn)給絲杠選取THK 的空心滾珠絲杠，由于采用中空內(nèi)冷方式，有效降低了滾珠絲杠的溫升，最大限度的減少了滾珠絲杠副的熱變形誤差，從而保證了機(jī)床的高定位精度。數(shù)控系統(tǒng)采用SIMEMS840D，該系統(tǒng)具有良好的開放性，可將機(jī)床誤差補(bǔ)償算法集成到數(shù)控系統(tǒng)中去?？紤]機(jī)床加工工況因素，反復(fù)優(yōu)化補(bǔ)償參數(shù)，通過數(shù)控系統(tǒng)內(nèi)部的PMC 單元開發(fā)一種新型的五軸機(jī)床綜合誤差補(bǔ)償系統(tǒng)。在機(jī)床加工過程中，若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的溫度值和熱誤差值可通過熱電偶溫度傳感器、電感測(cè)微儀等儀器來采集，將數(shù)據(jù)輸入誤差補(bǔ)償模型中進(jìn)行解算得到補(bǔ)償值，補(bǔ)償值反饋到機(jī)床CNC 系統(tǒng)，由CNC 系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)各軸電機(jī)控制器，完成實(shí)時(shí)補(bǔ)償?；谏鲜鰲l件以X1 軸為例進(jìn)行實(shí)時(shí)綜合誤差補(bǔ)償驗(yàn)證，其余進(jìn)給軸驗(yàn)證方法相同，鑒于篇幅關(guān)系這里不再贅述。為了獲取機(jī)床的熱平衡區(qū)，以X1 軸為研究對(duì)象，機(jī)床開啟循環(huán)冷卻系統(tǒng)進(jìn)行試切加工，以加工某型葉輪為例，工件毛坯材料0Cr18Ni9Ti，機(jī)床主軸轉(zhuǎn)速為1200 r /min，進(jìn)給速200 mm/min。X1軸位移偏差值和機(jī)床溫度的關(guān)系如圖7 所示，在20 ～26.3 ℃區(qū)間內(nèi)，機(jī)床溫度隨時(shí)間上升，變化趨勢(shì)陡峭，在26.3 ～27.2 ℃區(qū)間內(nèi)，機(jī)床溫升曲線隨時(shí)間變化趨勢(shì)平緩，此溫度區(qū)間為機(jī)床的熱平衡區(qū)域。另外在20 ～26. 8 ℃區(qū)間內(nèi)，X1 軸熱位移偏差隨溫度升高變化明顯，而在26.8 ～27.8 ℃區(qū)間X1 軸熱位移偏差量熱位移偏差隨溫度升高變化趨勢(shì)平緩，此溫度區(qū)間為機(jī)床的熱誤差穩(wěn)定區(qū)域，該區(qū)間與熱平衡區(qū)間部分重合，在這段區(qū)間內(nèi)機(jī)床的熱誤差處于一個(gè)有規(guī)律的穩(wěn)態(tài)。實(shí)測(cè)X1 軸熱誤差偏移量如圖8 所示。

從圖8 中可以看出，X1 各軸的熱誤差偏移量減慢，通過誤差補(bǔ)償算法，完成補(bǔ)償后誤差變化量在0 ～ 29 μm 之內(nèi)。由此可見機(jī)床綜合誤差補(bǔ)償系統(tǒng)是非常有效的，機(jī)床的精度有了顯著的提高。另外，若因冷卻系統(tǒng)發(fā)生故障，則會(huì)導(dǎo)致機(jī)床由于溫升過高，數(shù)控系統(tǒng)報(bào)警而無法工作，此刻機(jī)床熱誤差處于無序狀態(tài)，不在本文討論范圍之內(nèi)。

4 結(jié)論

通過對(duì)五軸數(shù)控機(jī)床的誤差分量進(jìn)行了解析，綜合各軸誤差完成了誤差補(bǔ)償理論建模和實(shí)驗(yàn)分析，得到了如下結(jié)論。

1) 利用多體運(yùn)動(dòng)學(xué)構(gòu)建CGM4000 五軸機(jī)床綜合誤差模型，并對(duì)59 個(gè)誤差分量進(jìn)行相應(yīng)的解析。綜合機(jī)床各軸熱誤差產(chǎn)生的機(jī)理，提出了對(duì)主軸和進(jìn)給軸熱誤差分量新的測(cè)量法: 5 點(diǎn)測(cè)量法和6 點(diǎn)測(cè)量法。大量實(shí)驗(yàn)證明理論預(yù)測(cè)辨識(shí)曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，主軸預(yù)測(cè)誤差范圍在0 ～ 2 μm 之間，進(jìn)給軸預(yù)測(cè)誤差范圍在0 ～ 12 μm 之間。

2) 基于灰色系統(tǒng)理論表征離散點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合出各軸熱誤差量曲線，建立了VM － GM( 1，n) 機(jī)床熱誤差預(yù)測(cè)模型，完成了五軸機(jī)床的非線性溫度誤差在線補(bǔ)償模型?；诖四Ｐ痛蟠筇岣吡藴囟日`差的預(yù)測(cè)精度，為誤差補(bǔ)償提供了補(bǔ)償量預(yù)測(cè)值。

3) 通過修改機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，基于數(shù)控系統(tǒng)PMC 控制單元，開發(fā)了一種實(shí)時(shí)的機(jī)床誤差補(bǔ)償系統(tǒng)。以X1 軸為例，實(shí)驗(yàn)表明當(dāng)機(jī)床達(dá)到熱平衡后，補(bǔ)償前和補(bǔ)償后，機(jī)床X1 軸熱誤差偏移量有了顯著的降低，誤差變化量在0 ～ 29 μm 之內(nèi)，機(jī)床精度有很大提高。實(shí)現(xiàn)了采用軟件算法補(bǔ)償硬件誤差。

上述結(jié)論表明作者所提出的五軸機(jī)床綜合誤差解析算法和誤差補(bǔ)償模型得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，能有效提高機(jī)床的加工精度?？紤]切削力作用下的機(jī)床綜合誤差建模與補(bǔ)償將是下階段的研究重點(diǎn)。